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x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式: - X8 O$ Z) y A" b5 _2 Z3 K9 W
x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
5 J+ S. b. H" l& }
# o9 e' `$ P) r3 M! C) Chttp://baike.baidu.com/view/521598.htm9 W0 N4 J q4 N' j |
! t; W8 r5 g- J* y: G+ A3 ?http://hi.baidu.com/shimmer_bai/ ... 29e1f1b311c76a.html
4 K0 I8 S- B- @# e6 L5 w% v4 a% p* h. h
http://zhidao.baidu.com/question/13255958.html
) Y. M0 l7 M4 N+ Whttp://post.baidu.com/f?kz=95574328
' |4 ?' u1 _- t( K j4 L" ~8 j' B' W1 a6 p
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
8 C) @2 f6 }/ L. i- _
- P/ [5 s+ J* A 一元三次方程的一般形式是0 s; B( z# a8 c- v; F
x3+sx2+tx+u=0
! N T9 e- I+ C0 K: }如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如
% |5 P" a+ d0 T x3=px+q
& |( h! M" @% w的三次方程。5 n6 \/ H9 j2 `
4 Z; h$ Y+ N0 L/ p; I+ S" b. {
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有1 w4 a! I( u# G) p. L
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q4 U$ }. f" M+ Y
整理得到/ O0 B4 C) J' X; h2 k# Z
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q/ O* y: [6 U5 w3 X0 W2 j3 T
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
1 {% u% E/ F0 n( R3ab+p=0。这样上式就成为* {9 I: N" W# B8 L8 t$ Q
a3-b3=q c* N E* H2 c! Z* E
两边各乘以27a3，就得到. C* p8 q$ l% k. H
27a6-27a3b3=27qa3# s5 A% {& H3 P3 H
由p=-3ab可知# \8 |5 r! R" L0 a. b* C n: X- T
27a6 + p = 27qa3
* h8 Y5 z& j8 x这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。
3 O+ V5 Q" }0 `5 @) A1 X0 d+ ~9 A, p
- b3 K5 c5 a# p- Y# H0 {2 u另外的方法： r/ k9 g8 d D/ |+ g
a; _0 R8 n' T9 I
先把方程ax^3+bx^2+cx+d=0 。化为以下形式：
* i& w- G( K5 k. s7 y& | rx^3+px+q=0
8 ^9 x9 e$ x6 `* k4 x% v( o! H9 `" C--------------------------" \/ I+ |2 q& h% E
令x=y-b/3a$ B, e0 @0 ?! }+ f& r" E- _9 R, X
則原式就会变成
9 M* f2 a+ D! K h1 Z0 F$ A, O& ~a(y-b/3a)^3+b(y-b/3a)^2+c(y-b/3a)+d=0) K M7 @ W( U* g8 {8 o
a(y^3-by^2/a+b^2y/3a^2-b^3/27a^3)+b(y^2-2by/3a+b^2/9a^2)+c(y-b/3a)+d=0
A& I) R0 p1 H5 |0 {( |ay^3-by^2+(b^2/3a)*y-b^3/27a^3+by^2-(2b^2/3a)*y+b^3/9a^2+cy-bc/3a+d=0
$ X$ }4 `1 E0 M7 c! B( g1 Xay^3+(c-b^2/3a)y+(d-2b^3/27a^2-bc/3a)=0+ U5 k8 S( } h- C8 g
如此一来二次项就不見了, Z: [; Y1 }1 }; J" B) O+ S6 f. g
4 p. s# h& c' w
---------------------------
0 a" w k+ _9 {( d% {% w, e7 [
$ ?5 c2 \' H( @; [1 i V* x直接利用卡丹公式：( ?! J& {4 D- C! C8 @/ p
x1={-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
& w( }. Y. G e: w# b* Fx2=ω{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω^2{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) / V/ D3 t* u1 {& ~6 O. [, c
x3=ω^2{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) 2 O* P1 d1 y( U7 W6 J
其中ω=-1+i*3^(1/2) ( c; C0 Q5 T0 K% K" S
$ |( l* ?" ]7 Y. e
Δ=(q/2)^2+(p/3)^3 ( v3 V1 N$ I7 u% ~
Δ>0时，有一个实根两个复根 : z. r4 c$ \- _' J/ T# q7 n( A) T
Δ=0时，有三实根 8 g, ~9 Z2 e* o7 r4 K" z
Δ<0时，有三不等实根 |
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发表于 2007-10-20 10:50
发表于 2007-10-20 12:37