虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：
# v6 Y! k- V* W- y6 l8 ^% Y9 U
" V/ w. T: E& c) r" sX*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=01 d* I- z- q- V- @3 O5 b c, K
5 F) O6 s+ K3 e; k4 V这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。, q5 D# _3 E! E: D& Y
, [, W; g# T$ U" O2 D4 I但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。
3 ^2 M7 Q4 _- N# r- j i8 X }
# z5 y) D5 J/ X3 e [4 S( u因为3 m3 l6 h( Q. @- i i( G# ~
一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。, i) {0 A! y6 A5 u
; D! Z% R# H2 E+ `0 U5 h如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？
! b' W- [5 |; F2 D! q" u+ U9 V; N0 Q/ A3 ?
再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。+ F5 i6 o( H$ t- u+ [. Z0 V
3 L- n- G% A+ Q( Q) a8 x6 z
近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。0 }( t( g; T" F" m8 I3 ?
3 o# C7 J* P s( R5 U6 w我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。: s- T. i4 `& Z6 x
下面我讲解我所想到的土办法。
: u9 u& R8 k4 X( d5 o! c1 n. O' w. y9 C1 `8 y5 U+ l
. E( q& K( Q$ Y V& `; x1 o
首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。! L$ ?1 ?$ Y$ Y9 A
r! J: b% @( Y R9 V5 C6 x
[定义]
- M0 g6 ~; H" z3 J/ w5 @2 S整数乘以a，就是阵列常数个a。) H2 L1 ]2 @; E+ v
a除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。# x3 Q/ O, u! \+ a! P1 n
a+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。
# U6 C, S& Q: \- Q D) ^: xa-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。
8 e$ u) }) z4 Aa*b即画个矩形，边长为a和b。: k. F2 T6 ^/ o% `2 q {
a/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。% n4 [8 X( P7 ]" O; H9 G9 I! H
" \9 j5 j. `2 l3 V5 Xa的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。4 Z1 W! l$ _' Y+ T4 E5 X
其余仿此定义。
2 x# P3 S; O# r/ u
2 F, V" K: x) ~' _[步骤]
( T0 q3 W+ z# H a4 p! J7 \. D- ?1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。
) n: x5 `) a* D& F& a' N/ V* v$ ~2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；0 ~5 N9 u1 a6 P
3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；4 d# {( ^1 H% t G9 a! {
4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。6 X1 P) o: {+ d! |
5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②
) u6 w/ n* v* x. v( v! o' Y4 c①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。9 C: k+ l3 @0 S7 c9 l, o
5 T2 b2 M0 B, ^5 b- C" d
②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是7 U! J' L- g g: R+ a, K1 @/ i
“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。" [* F: H) c. A6 e+ f1 a0 r, K
③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。# }% ]% K' J3 W" D. J) j: [+ w) g
6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。7 ?' s$ Q# ]' }/ y
7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。6 u) W& u. b6 l. c$ o8 p7 h
- y+ d. q. |( k8 \7 s
上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。! s" c! d' D% H |5 j
9 I; E- |0 M( j6 c" C
如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。3 N: ]0 B$ ?: w; l8 f+ M! Y
9 L" z6 Q i' K3 U: O
回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。
% O5 K/ P2 a' i8 Y/ V- u! P& e
如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。5 `& e7 k6 y$ Z. b% p" o
' I, s$ @5 E/ p( H- n! l[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）
9 V) g: K- W' L/ d5 ]5 s( M) g) g9 P
1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:
- I* ^ ]4 q) {- q6 c. n4 D2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;) d6 R* ^/ x w& R! U
3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点;& d, o5 `8 t. S2 Z k. s3 Z& N
4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。* L% U6 R* [# Y8 S! M- L
. E' Y. z" [9 l, B[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）
9 Z( C* g& ^# f% r7 m* }: L7 q5 ]+ G
# @* y( c5 L3 K9 y6 E! x! J, r+ r1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;
0 m/ [1 N! m1 i, ], s, [! F; \2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;
, ~# A1 w; |9 O4 W, G) i9 Q3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;
~8 `4 o. ?6 o) {4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。 |
发表于 2007-1-30 17:33
楼主
发表于 2007-1-30 17:46
发表于 2007-1-30 21:47
发表于 2007-1-30 23:41