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x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式: - \0 ^ a- H' o6 b6 q+ L; f
x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
$ k6 e! S( x/ A6 F8 \0 |& a$ Z$ N
* q# [/ I$ r2 Jhttp://baike.baidu.com/view/521598.htm: ?; o, ?, p( `7 s; q3 c+ L$ ?
8 L& o! K: s- Y8 `http://hi.baidu.com/shimmer_bai/ ... 29e1f1b311c76a.html6 b! F' l! p& ?1 s! r, K a
# l" G* D& e( M9 w1 yhttp://zhidao.baidu.com/question/13255958.html
* G U" E; g* g7 m8 `" G1 qhttp://post.baidu.com/f?kz=95574328
' X) U) O* F% K4 D7 c, ~
. ?0 t1 f1 u6 z. |塔塔利亚发现的一元三次方程的解法- R8 s) I- P; S, ]' D
4 _/ c, q. ?! D! F" E 一元三次方程的一般形式是$ {" n, o8 E8 Z! e5 X# D% s9 R
x3+sx2+tx+u=09 D' o# r b/ A8 b
如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如% ^0 r) d: \9 x$ Z# ]1 ^
x3=px+q$ B0 T4 ^0 _: Q! I
的三次方程。
# H/ X) f6 w% s
% K, s, T( x7 C% i; k! W 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有* x+ O* @9 x3 d
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q K* U5 a @$ {5 k$ X
整理得到/ M+ e' o2 K/ A5 c1 v+ Q% B
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
1 U3 n' L A W# h c由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，3 {6 e% J5 L: y# v1 Z. N k3 }$ L
3ab+p=0。这样上式就成为0 T/ m3 Q# C& i) e3 C7 W5 D
a3-b3=q2 B; ], u% w5 t
两边各乘以27a3，就得到
, a7 I: N- |) k1 } 27a6-27a3b3=27qa3
2 F" Z# s0 P. p0 o由p=-3ab可知
- r) K' H( D4 K9 h7 C0 P3 g 27a6 + p = 27qa3
3 W0 L' U9 }+ k5 f- Y- n% x这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。
% @6 u& I$ e2 e% \8 H# l% `- a8 {
另外的方法：! Z3 L+ W6 Q @6 _* b
$ U. g" v* {0 j E8 Z0 O先把方程ax^3+bx^2+cx+d=0 。化为以下形式：
% V O3 d T7 ]- h+ ~; `x^3+px+q=0
5 H) r" W, j+ K$ Z o. n4 a q--------------------------
8 k: V6 S$ r0 e5 B7 L令x=y-b/3a' z' `' g; y. F$ U/ y7 T9 k1 q
則原式就会变成& s; e; Y' I( G+ m1 T
a(y-b/3a)^3+b(y-b/3a)^2+c(y-b/3a)+d=0( T. }- v2 j4 ^+ u* z
a(y^3-by^2/a+b^2y/3a^2-b^3/27a^3)+b(y^2-2by/3a+b^2/9a^2)+c(y-b/3a)+d=0- [& S1 R4 S/ j2 M& }5 t B
ay^3-by^2+(b^2/3a)*y-b^3/27a^3+by^2-(2b^2/3a)*y+b^3/9a^2+cy-bc/3a+d=0
- O$ Q r8 M: t& I8 v1 W$ q8 hay^3+(c-b^2/3a)y+(d-2b^3/27a^2-bc/3a)=07 L. S3 a$ B2 Y# `# E- z7 a
如此一来二次项就不見了
! ^( z3 p9 [$ z h6 l
4 j& _/ c7 Y& \6 K/ r) G---------------------------- o: v& Z y1 p/ f, F# i
! i) v+ B ~5 q" H# b* J
直接利用卡丹公式：
$ H8 b. [' @$ h4 p7 H7 ]x1={-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) 8 E. n9 M1 S3 f( h* {2 b" ^% W
x2=ω{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω^2{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)
& ]) f! G. e$ R9 v' Cx3=ω^2{-q/2+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3)+ω{-q/2-[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2)}^(1/3) 8 M& o7 W6 `! \
其中ω=-1+i*3^(1/2)
; _0 ?/ c9 X; ^
3 q, i* `1 t! |" y. Z* P; H& A% pΔ=(q/2)^2+(p/3)^3 , j! J# H, I, ^' k* v" C, f
Δ>0时，有一个实根两个复根 ' p% d2 Y% g( h: V
Δ=0时，有三实根
4 {+ ?8 Y: {- J; T7 |Δ<0时，有三不等实根 |
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发表于 2007-10-20 10:50
发表于 2007-10-20 12:37