虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：9 D1 G7 y" w; Y7 T+ [
3 }( G6 P& [: S0 A; G2 JX*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=0
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这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。& o1 e* V/ K! M4 [! h+ Y
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但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。! p9 U. S: l1 r" Z( y
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因为# I8 {# _4 K( @. [. T Y
一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。6 N: w# ~) ]) U6 e, d; \
# [' z9 g' |. k9 g如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？
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再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。/ k/ P, @! P( _% U4 ^
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近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。
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6 j) B' h U- g1 N7 N, y+ d我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。
; Y* ~3 k9 O2 v下面我讲解我所想到的土办法。
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! Q2 b- o" U' ~4 w h0 Z7 ]
首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。- q" O4 ^6 F" P- E. u- t0 i
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[定义]
7 h7 m/ ^7 w% G- T% y9 m8 b整数乘以a，就是阵列常数个a。
" {, j7 N2 o- w+ ^a除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。4 K+ L- k7 s# |. M* s
a+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。/ F8 g j( P( a. c/ d) `
a-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。- f8 b& G8 u0 ~6 H- X/ V
a*b即画个矩形，边长为a和b。7 L1 ^) T; Z- Y, }9 O
a/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。
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a的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。
+ B% A; A8 B2 w" n2 J; A( r# B其余仿此定义。% s( r! k: i1 y5 w
& R* o3 X/ `" J/ q2 ][步骤]
' ]5 w# _. v+ k2 a; O1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。. |- @3 t. N. R7 C' d
2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；, x! r% ~ E; G+ G4 J3 C+ B
3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；
5 L& c: j# `- j h4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。
2 J' J7 K: A7 Z: X# `+ q; v5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②' {0 D+ @9 ^8 G5 _" O9 H1 L
①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。
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/ y A2 c: }9 t/ o②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是" Z+ t6 H* G! U7 [5 ]5 `7 n
“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。
2 Z' P, U2 B* J% W7 \' S8 E③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。5 H; {' }! b* X7 K
6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。4 S. O2 W8 K* O2 _
7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。
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- l( P0 |$ ^9 r上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。
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/ {7 N: g4 } e/ S' r, m+ ^& x如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。0 f# z8 a8 v2 K$ `, T
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回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。
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如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。
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[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）! a' o5 z) B2 m" e6 Q- O
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1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:
! ~ M5 {- A6 B$ @1 F# `8 `0 t7 l2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;1 y* W0 [5 a9 C0 S
3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点;
& n8 S W, F( J* o1 M4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。% [. h8 w# z/ v! o- k4 l Y# [$ _0 z5 f
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[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）) P' ^, s& w K' K0 Z
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; o" H0 y# [3 N1 j1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;% i N4 d/ Y) c) ?
2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;8 R; n6 n' F; c+ ? U' c
3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;
0 J2 [+ Y! L0 J0 R/ ]4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。 |
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