虽然没做出来，但我想想说说自己的一点看法，供有兴趣的朋友参与。这道题目中的三角形按图上的数据的确是客观存在的，是直角三角形无疑。这道题目之所以难，其实质是要解“一元四次”方程，如图所示，设直角边长度为X，则其实质要转换成解答这样一个方程：( ^6 h+ L2 q$ w; c; ?4 q/ g
! P* w. n! R* C; T# }X*X*X*X-14*X*X*X-70*X*X-350*X+1225=0
, D) t% _5 d2 [( K
* ^6 v8 B% x$ v, m# w5 k% I这个才是直角边长度的精确值，从理论上来说，一元四次有求根公式是可以解出来的，但说实话，还没见有谁真正这样解过方程，因为太复杂了，我虽在书上查到有一元四次方程的求根公式，但却无法做出来，因为不象是一元二次方程一样直接可求解的，需要转几个弯。而且解答出来的是相当的根号在里面，用它作为画图的依据也是不容易的。6 F1 e+ y& d' Z2 V. W
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但是，这样也提供了另一种画这个三角形间接办法，即算出这个长度直接画图就可以。虽然不是直接靠直线与圆做出来的，但也算一种办法。因为一元四次方程有4个根，我算得是X1=2.492434229……， X2= 18.588090869……，经判断X2符合题意，即三角形的直边是18.588090869……，用这个长度作出的图形，是可以满足题目的要求的，大家试试就知道了。0 Z' w/ D, Q% l' ^8 J! U$ r" d
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一元四次方程有4个根（含虚根），我不是直接求解的，而是借助于EXCEL来算的，还有可以满足条件的答案就未知了。 e B4 p S) O5 |4 H5 W1 @
4 D: Y1 J7 t6 V, m& i5 n% ]如果要说就这样就完了，心中不免有点遗憾，总觉得这种办法太牵强。难道想不出完全用CAD作图办法来解决的吗？想了一阵，智力有限，仍然不明白。不过我倒有个“灵感”来了，这个问题反过来一想，不就是说如果此题真的可以完全用CAD作图办法找到精确答案的话，不就说可以用CAD作图来求一元四次方程的根吗？ K5 _2 u% v9 b5 J1 ?- c6 O
( ? E: A7 _" V+ P+ m: }: i* D再想一想，如果一元四次方程的根不能靠作图的方法求解，那么这道题可以宣布其死刑了，不能只靠作图的办法求得。大家也不是在这上面耽误功夫了。能否有这样的结论，本人学历太拙，望请论坛上知道的朋友说说，就是方程的根能不能由作图求得。
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近期我都在想这个问题，“方程的根能不能由作图求得”，至今进展很小，所以这次提出来的目的是要请朋友都来研究。
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我目前想出了，已知一元二次方程ax^2+bx+c=0的三个系数是可以用CAD画出根来的。
: @- {) T. D: ]下面我讲解我所想到的土办法。
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4 P" O! p5 u& n( [
首先，作些约定：数值用线段表示，长度即为数值，负数同样，涂上另一种颜色区别。借助数轴。以下的a与b与c都≥0。1 X7 ?( @* J( \. `* b9 E0 T$ T
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[定义]' e/ r0 R/ m' q" a/ \4 U2 M
整数乘以a，就是阵列常数个a。! Q% Y) d9 y s1 q: p+ A
a除以整数，就是将直线段a用点平分成“整数”段。$ t3 ?7 g" ]- e
a+b就是画出线段a再接着画出b,a的起点到b的终点就是他们的和。
: t2 R/ D% @0 Y' [0 e& ja-b就是画出线段a再接着反向画出b,a的起点到b的终点就是他们的差。( J( [% p+ a0 g' q; W, n# f0 }4 O
a*b即画个矩形，边长为a和b。
1 s, C: o7 u$ T k1 \! l: ya/b画矩形用“面积”，面积=a，一条边长为b，则画出后的另一条边长就是a/b。
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a的n次方，包括多个数连乘的积，在图上只能逐步进行，比如说a*b*c，先算出a*b的面积值，查询后用这个值为新的一个边长，再乘上c。; B0 H. Z6 c5 s2 `9 Z! U
其余仿此定义。) R/ Q9 r6 o. b( L; T
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[步骤]- X& E. o1 k8 d, R' v7 L, K2 j
1、已知a与b与c的长度，分别画三条直线段，为负值的涂上另种颜色醒目。: \. E4 N1 U; J) j) Q% [
2、画一矩形[甲]（正方形），两个边长捕捉b的长度；3 i1 @4 A9 a8 P- q8 C ^1 i
3、画一矩形[乙]，边长为捕捉a的长度的4倍，另一边捕捉c的长度；! Y5 O! j* h) A$ C' x9 C
4、将矩形乙化成正方形[丙]，任意一个长方形变正方形的方法在后面。
2 I# x) _2 J" c0 i* r. [5、观察a与c的正负，以确定[丙]的正负，这是要分三种情况：①②6 X" w- s/ Y2 r( s2 m
①如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上，则[甲]上面除了[丙]剩下的“L”形部分是要求解的部分，这也一部分也可以另用多段线捕捉“L”形上各点另画一个。如何把“L”形转换成正方形[丁]呢，方法在后面。
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# E7 w2 |. U9 f②如果[丙]为负，则把[丙]移动到[甲]边上，靠住[甲]的一个角点，此时总的图也是
2 g/ E- V/ I% u# f“L”形的，然后把它用上面方法，化成正方形[丁]。3 l9 ?" A. p/ L! e1 J' t$ c; r
③如果[丙]为正，则把[丙]移动到[甲]上时，[丙]比[甲]大时，则方程无解。6 C2 J& W0 ~$ a8 d
6、另作直线段d，长度捕捉正方形[丁]的对角线。% w2 A) l @$ @( f$ p% s, o
7、剩下的工作大致就清楚了，用（-b±d)/2a,具体做法参见定义的方法。9 }' |1 N; g6 q4 g: ~5 |* J
: y/ Q8 ~6 \# u1 x上面方法，再菜的人都能看出是就按一元二次方程求根公式来执行的，整个过程完全可以靠作图求得。这种方法是不是用CAD作图求一元二次方程最简单的方法，我也不知道，如果你有兴趣不妨来优化一下吧。
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如何用CAD作图求一元三次方程或者是求一元四次方程，的确是摆在面前的难题了，因为平常求这样方程从未涉及过，太费脑子了，所以请朋友们来想想。
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回到最初这道题目，我的构思是，将已知的长度5、7、12，分别用直线段画好，然后转换成一元四次方程，然后再慢慢按求根公式作图求解。如果纯粹是从过程上来讲的话，我想是可以实现精确求解的，但想一想感觉这是个“海量”的工作。
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如何更优化地进行呢？这是摆在眼前的难题，有一点是确定的，光靠东试一下西试一下，是求不出精确的值的，因为这是一元四次方程的一个根。& K& b" o* N, n$ c7 ?
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[附]长方形变正方形的方法（即面积相等）
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4 ?. @4 ^* o' \) h% G1.在长方形ABCD一角点B上作辅助线,如图:, D" a5 {" Z- g! q
2.以该角点为圆心,短边为半径画圆,交直线于O点;1 Z- x8 G5 a+ Z2 w3 b
3.以A和O点为直径画圆(可用2点圆命令),交垂直直线于B点; S8 r4 ~, h3 Q! o" s
4.则BP就是所要作的正方形的边长,如图中绿色正方形面积等于红色长方形。; L3 i% G; X" I0 Y Q5 ?8 [2 r
+ L H9 _5 }' |[附]“L”形形变长方形的方法（即面积相等）
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4 ^* F _; i3 Y% p! X5 U1.将“L”形分成两个长方形,自己选择一种分割办法就可以;
0 t2 T8 D# a7 K2.然后把这两个长方形用上面的方法,分另画成两个正方形;
- D! M/ l+ a+ ]% w0 Y8 i" T3.利用勾股定理,即以这两个正方形的边长为直角的两条边,则斜边就是所要求的正方形的一条边长;
( e9 G. g- W1 W) H+ o; }4.呵呵,这就是勾股定理的一个简单运用,将“L”形变成了一个正方形。 |
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