趣味三角形：两心平行于一边，线线皆知。

yimin0519

仁者见仁，智者见智，您可以用任何手段搞定它，繁琐也可（有作图过程或痕迹），简单亦行（三言两语），但因本帖的特殊性，楼主不需要您“交白卷”（即只标注尺寸而不说明理由），所以有言在先，请勿见怪。您可以保持沉默或飘过，把论坛资源空地让给他人。

即便您用尺寸驱动与形位约束软件搞出来了，要发布回帖，请尊重楼主上述前言，除非您确实勘破了本帖的玄机，但也请告诉大家，否则真的不要交白卷（因为会玩尺寸驱动的同志如今多得很，楼主也是其中之一，呵呵）。
: ^) r9 X# b2 x$ l1 t

guzhenfei

文字叙述不方便.大概要点是这样吧!

yimin0519

回复 2# guzhenfei

' M. C6 e0 p+ y6 b% Q9 g( k2 W非常有理，帖子的标题“线线皆知”就是这个道。
楼上guzhenfei先生都把三角形三边长度计算出来了，根据边长数据作三角形那是极为容易的事情了，我们称之为“异位作图”。
7 u4 ]' L  S: |  w* d$ v
回到纯尺规作图层面，欢迎大家继续讨论下面这两个问题：
) A; q/ l2 a  D+ T沿袭帖子本意：已知△ABC的内心I至重心G的距离IG，IG∥BC，且底边BC已知，求作三角形。（以下约定用圆规度量出来的IG=d=15mm，BC=a=215mm）。

. W7 l0 s4 \/ e: b- {# H+ U一、IG、BC就是给定长度（分别为d、a），可以用圆规去量（因为直尺是没有刻度的），如何实现通俗易懂的异位作图（三言两语即可，出个草图也行）。
  z% W; B- g* _- c
二、△ABC的内心点I、重心点G是已经定死在纸面上了，边BC的长度是给定了的（位置没定），如何实现本位作图（即作出来的三角形它的内心、重心位置就在点I、G，注：这可要通过“复杂”作图）。

chenmik

回复 2# guzhenfei
& P8 I# z4 ^4 g7 x/ |

    这个证明能详细点吗？看得不是很明白，谢谢

guzhenfei

/ T! s/ R& h# L  C6 D* @( i谢楼主的点拨.

yimin0519

回复 5# guzhenfei
8 H: D5 a" L# I
高手就是高手，终于勘破玄机。
% O. X1 n. v& [$ E7 i
那么3楼需要讨论的问题一得到了解决，异位作法用文字描述就是：作已知底边BC，作BA=BC-3IG，作CA=BC+3IG（交点为A），则△ABC为所求。
0 M0 a4 U* j, A7 X
; d/ q+ @$ y5 E  P' X; |9 b大家继续讨论如何解决3楼之问题二（即原位作图）。

guzhenfei

偷懒了,画一个图示吧.

yimin0519

回复 7# guzhenfei

# j! Z8 B5 L. F8 T: z
; X( K3 b- N1 X# W2 a3 k; G: t  高！除了第一步外，用了七大步骤。

yimin0519

之所以称之为趣味，这样的三角形还包括以下内容：

一、除内切圆半径外，三角形所有的点（各心、各足、各中点、各三分点）的水平分量（在BC上的射影）、三角形三边长等均是可知可解的。
3 z0 n, I' R; S' ]' M
二、如果BC边长是两心距离IG的整数倍的话，那么最小倍数只能是7（是6的话，B、C、A将与IG重合），当为12倍时，则三角形为直角三角形。如下图所示：
; M/ O$ }$ R3 ?" m7 F$ N* H9 E


2 p: Q/ r. f' D" {

guzhenfei

回复 4# chenmik
0 d7 `7 f& x9 t' V2 T9 ]
. S7 Q5 _- C, z发一个简图

yimin0519

下面这个作法看上去烟花缭乱，其实做起来并不复杂，目的就是一个：把三角形BC边上的高求出来（内切圆的半径的3倍）
" y7 I2 t% J4 u0 F4 A4 l
9 G, m  ^5 E8 h+ @' t% X6 T

chenmik

回复 10# guzhenfei
9 K4 l( ^/ x  W6 `8 m+ A

7 Y) s& R7 R. ?    老师，惹我愚钝，FD=3IG这个还不明白。

yimin0519

回复  guzhenfei
* G/ j+ e( b8 ^/ r. i. ]! }
6 b7 p) s  A( a  D" ]
9 |" G7 T; `+ Y1 V    老师，惹我愚钝，FD=3IG这个还不明白。
0 c3 e1 F: w/ xchenmik 发表于 2015-8-22 10:49

  中点高都是大三角形的六分之一：

zptxh

谢谢学习资料！！！