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认为这个图有无数个解的朋友错了，认为这个图有唯一解的朋友也错了，因为这个图有两个解。6 {0 J8 t* @1 |4 v( F
认为画这个图需要微积分知识的朋友错了，因为画这个图真正需要的是解析几何知识。% [* }" t& Q/ I0 \+ u# o, t7 S
认为这个图可以在二维空间用辅助线方法精确地画出来的朋友错了，因为这个图想精确地画出来只能在三维空间解决。
; n2 F, F9 C" N+ \! `! x认为研究这种图没有意义的朋友也错了，因为对此类问题的探讨可以促使大家学会如何在面对复杂问题时迅速找出正确的解决途径的方法。( }# j5 w. ^0 i% Z
2 V- _$ j* i9 z2 F! J! N1 O0 L% \
下面开始讨论本图的画法。首先按图1列方程。
9 i- ], L8 @* a% z# A3 ?7 ?% w: h$ p
f/ ?7 f1 ~# [6 e
. y( N) Z, \2 H看外面的大直角三角形，根据勾股定理，有：
. D0 t3 i8 s( }9 x2 J2 L0 UX^2+Y^2=50^2......①
1 y5 G2 S% t9 ]' z. m大小两个直角三角形相似，根据相似形对应边等比的原理，有:! W6 e0 u. e, W, p7 S) N1 \
X/Y=(X-5)/20......②! p: M% k5 J3 \* X% ]
+ q) D8 m+ o# p% @有人试图解这个方程组，不幸的是，通过整理最后得到的是一个一元四次方程，很难解的。3 d8 G1 Q5 G6 Y5 G
其实没必要解这个方程组，学过解析几何的朋友应该知道，上面的方程组实际上就是二维空间两条曲线的代数表述形式（解析式），两条曲线交点的X坐标值和Y坐标值就是方程组的解。如果能画出这两条曲线，得到交点，就等于得到了大直角三角形的两条直角边，也就能画出这个图了。
$ N% F4 f0 W4 j8 P: @( \) |) E; g式①就是一个圆心在原点，半径50的圆，在二维空间很容易画出来；式②需要整理一下，变成下面的形式：. ^; S) k% ] A9 ~
(X-5)(Y-20)=100......③
4 `# Q/ a2 ]" s& y& q这是一条倒数曲线，实质上就是一条被旋转到45度方向的、渐近线互相垂直的双曲线。
: Q/ b: E/ `* m1 G2 Q4 g7 o在CAD的二维空间是不能精确画出双曲线的。这就是我说在CAD二维空间不能精确画出此图的原因。+ q* R+ v+ w6 }
但我们知道，双曲线是圆锥曲线的一种，是圆锥曲面与平行于旋转轴的平面的交线。我们可以在三维空间画出圆锥实体，用平面剖切它，用得到的实体的边缘(式②的双曲线)与式①的圆相交，进而画出这个图。
2 A1 [2 h3 {6 u3 J4 U" G3 @我们可以把式③转化为下面的方程组：# e V) f+ p9 O6 t; D" X
2(X-5)(Y-20)=(Z-200^0.5)^2......④
: [; ^2 a4 ]# [1 L, i5 ^2 ?Z=0......⑤0 w5 m6 s3 i1 H: E' ?! L& w5 g5 P, S% w
式④就是顶点在(5,20,200^0.5)、旋转轴为XY平面45度方向的圆锥曲面(圆锥实体的表面)的解析式；式⑤就是XY平面。
# L; X" L4 T# P- o/ x& i4 E0 m9 J7 u' Z, w: R9 A! H, d" G1 f4 ?
理论上的探讨到这里已经足够了，现在要做的就是按照理论的指引把图画出来; ?5 `7 S" ~" f \5 v j
1、在CAD默认的俯视图界面用闭合多段线画一个如图2的等腰直角三角形，左边锐角在原点，斜边可以长一些，以免后面不够用。我画的斜边长度是100" H F& \& |+ Q' u( E
9 j! m& j$ a$ f! m; \
& y% L3 B9 n: G' ~& E$ j; ?8 H
6 v: n. X. {# w% F8 X. h2、以左面的直角边为轴，把三角形旋转为锥体，如图3
1 L, D! J9 y8 K( ], {5 S) _) a0 v$ k1 g
2 Q- d6 S( |7 m: W* `/ e
/ y( f- M* b3 \$ ]$ O- U3、从原点画直线到(5,20)点，如图4. i4 z9 C% u; n5 o' |# M
8 D0 _( A9 X$ i2 S/ ~$ u, F
; @3 M6 {2 ^* V/ o5 j
: w: k" P$ }* k! |( t( A, Z4、把视图方向改为西南等轴测，如图5
! g' `0 X5 J u: d! V, r: N- d8 x/ x4 a4 f8 x' B9 R6 Q' P
5 O- ]% E: z( e6 u3 q7 f W/ M+ i% l# Y
5、把UCS绕X轴旋转90度，再绕Z轴旋转45度，如图6
/ f1 y3 d2 g' E7 j$ B$ k% c) ^; Z- i
+ s$ B# n3 J. Y% B' S2 W! _3 U* N( n* Z* \# }
5 P9 D9 T) H3 I- ]$ R X6、从刚才所画直线的终点继续画直线，首先沿当前UCS的X轴方向画10个图形单位的长度，画沿Y轴方向画10个图形单位长度，现在的终点就是世界坐标系WCS的(5,20,200^0.5)，见图70 {/ i" a" f: _" x8 R. R9 h
' e( x, r1 e4 R, |/ r/ M
# o- \, r8 ^* v" U/ ]8 [2 y- R& f$ y- |
) m, L' ` n6 A# ]% P* {7、把圆锥以其顶点为基点，移动到直线的终点，见图8
5 g8 @* W& }; c% Y1 [
/ C% H4 A$ U- G0 q2 F H: x0 [) S) @2 H2 H7 p7 F- N5 b
1 M, E P0 d8 ^* i/ w2 x8、把视图方向改为主视图，见图9( M2 i( ~$ Y/ @) V' x1 [- E
* n2 Y7 c7 j8 Q7 ^6 R& y7 z
0 g# G" H: u3 d# Q
% S i5 }# [5 x% z' G
9、以过原点的ZX平面剖切圆锥，保留一半，见图106 t1 Y7 z6 ]; S, L7 [7 \5 z% L
. ?4 n# W8 Q! _( Q# F; G5 m4 z# D& M5 M* t! ^9 v
* F9 Q" O1 q& e+ X
10、回到俯视图，现在看到的实体曲线边缘就是方程组中式②的曲线，见图11。
9 r3 x8 T. {" |
+ e0 f/ M9 K$ o
. q* t7 H/ F, ?/ d" n G a2 a$ d3 S$ |0 Z- ?
11、以原点为圆心、半径50，画式①圆，见图12* ]7 F3 f4 d& t% K2 e7 Z
, d" p+ t0 ]/ E+ b# O T+ e0 M, Q# ^( i, Z5 b
! f" e6 ~- O/ H1 v
12、把圆压印到实体上，见图13。$ p; L( r- Z+ ]/ Q& e
; i ]" E2 F) f$ ?! E! Q2 a% O0 z* l# ^% g* i! P! q) Z. m
* C2 A. U; S8 A13、从上图可以看到，圆与实体的边缘有两个交点，说明这个图有两个解，两个交点的X、Y坐标就分别是两个解的直角三角形直角边长。下面把两个结果的三角形分别画出来，见图14
: Y# b! |9 S _7 ^; K( V# m6 k
- A) g/ F8 R/ F4 [# Q# ]
8 n7 I* j! ~' E9 [
14、完成两个图，并分别进行标注，结果见图15。其中标注的线性比例为10000000倍，为的是让计算机双精度浮点数的16位有效数都显示出来。) l( l1 c2 g- T4 ~7 `9 p" P% ?) v
F1 \ H u8 k% n; F# ]: K
( J" ~8 f& S9 D" q1 M' ?/ p5 q
图画完了，不知朋友们是否从中体会到了什么。
' [. o7 m6 [$ [) V- o再举个简单些的例子：前些天，有网友发了这个帖子http://www.askcad.com/bbs/viewthread.php?tid=26529，为了方便，我把图片转帖到这里，见图16，图上直角三角形的两条直角边长度和为90，要求画出这个图( c6 T% _, H/ _; i7 Q
, T/ T6 g" H4 s# ]7 f4 L% g
* X/ L/ \; m) q% k; ]* S
& O L* W8 ^3 }; |# F我们先按图17列方程
+ W% c% I/ Q) N$ V. ~" s* ~3 O# ^2 L: F4 o, o
9 g! m. H8 V4 h @* N
* q z, f1 B- M& ^: |X^2+Y^2=70^2......⑥
9 {' v& w, t4 i- O, `X+Y=90......⑦$ L) _* U% n l; |4 L- }6 L
有的朋友通过解这个方程组，算出结果后再画图。对此我还是那句话，没必要这么麻烦，直接把它画出来嘛。式⑥就是一个圆，式⑦是一条直线，画出圆和直线，交点有了，图也就出来了。
4 i9 ^5 \# A f. H5 D我的答案在该帖的5楼，有兴趣的朋友可以看看。答案图上蓝色的圆和直线，对应的就是上面方程组的式⑥和式⑦。
3 S2 a! Q6 n) R0 h$ F5 {+ w4 H! [9 b7 I9 U# P
其实画图的过程并不重要，重要的是寻找正确途径的方法。这也就是画本帖这个图的意义所在，也是我发这个帖的目的所在。
0 L$ H( f4 k+ n9 G. q( \. O; D( X5 L2 Q
[ 本帖最后由 woaishuijia 于 2008-12-15 15:15 编辑 ] |
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发表于 2008-12-12 10:20
