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阿波罗尼斯（Apollonius）圆在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ， 当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。& D( a8 T/ m" @* T V
如图PA=PB=0.5
# _. u+ {. \$ S# \: Q( H; Q. q8 e* X: d& X3 u2 |/ Z" n
9 ?( v7 `0 V6 x/ M9 P3 D
: H1 H$ N+ u7 ~8 \! l5 g/ K( I当λ=1是，轨迹为直线AB的中垂线。; v3 f1 h0 ~4 z
如图：# G, B) @5 u! T, P2 b
* t. A. |+ f4 v' S
6 B( q" i# }9 [& z. g
3 {% W( j/ m5 V# y/ G$ k8 L那么轨迹圆应该如何做呢？
+ w* g: r$ y' B$ Z根据三点确定一个圆这个最简单的定理，我们只要能找到这个圆上的三点，那么就可以根据这三点作出这个轨迹圆（也就是阿氏圆了），假设这个比为1:2，那么过程如下divide命令把AB平分为3份，那么AP/BP=1:2 过A点做一半径为X的圆，过B点做一半径为2X的圆，X任意，确保两圆能相交就可以了（黄色的两个圆）用三点作圆（一点为靠近A的平分点，另外两点为上面两个黄色圆的交点），得到青色的圆就是我们所求的轨迹圆' d- a( r7 ` o- [0 |
9 ?3 K# \) L. `: U4 t% `" i5 g2 G- B% D/ D: F* k8 S3 ^ Q4 D, L
! {9 S% A# v0 f' I* D0 A+ m其实实质就是：
% }% b4 J& S4 r+ c) N8 C# v点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆什么为内点与外分点呢？见下图
/ S4 J: B2 `2 V( D8 O" S/ l
, r$ Z1 ]3 k- X0 z8 \
7 @, j5 ?* v9 E4 Q% C+ c4 E" L; R
$ b3 F- z: h$ @" J我们可以通过公式推导出AN的长度
: l) | L5 d# \" m0 mAN/BN == AP/BP 其中BN=AN+AB
3 p0 K! Y3 k% v) B' Z: y9 p" _所以 ! e* R! z1 _; S. f" N2 N
AN/(AN+AB) == AP/BP 1 N* h @+ r4 g, T
===> " X5 J% Z* R3 A H+ m' c
AN=AP*AB/(BP-AP)
5 ?! s% ]6 I1 X- v; g以NP为直径的圆就是我们所求的轨迹圆 |
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发表于 2011-8-2 10:18
